Wie Viele Primzahlen Gibt Es

Anzahl von Primzahlen

Eine Primzahl p ist eine nat�rliche Zahl gr��er als 1 ,
die nur durch sich selbst und durch i teilbar ist.

Die Primzahlen bis m:

2 iii 5 seven 11 13 17 19 23 29

31 37 41 43 47 53 59 61 67 71

73 79 83 89 97 101 103 107 109 113

127 131 137 139 149 151 157 163 167 173

179 181 191 193 197 199 211 223 227 229

233 239 241 251 257 263 269 271 277 281

283 293 307 311 313 317 331 337 347 349

353 359 367 373 379 383 389 397 401 409

419 421 431 433 439 443 449 457 461 463

467 479 487 491 499 503 509 521 523 541

547 557 563 569 571 577 587 593 599 601

607 613 617 619 631 641 643 647 653 659

661 673 677 683 691 701 709 719 727 733

739 743 751 757 761 769 773 787 797 809

811 821 823 827 829 839 853 857 859 863

877 881 883 887 907 911 919 929 937 941

947 953 967 971 977 983 991 997

Bereits um 300 v. Chr. hat Euklid bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt und dass jede nat�rliche Zahl entweder eine Primzahl ist oder als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann.

Primzahlfunktion p (x) = Anzahl aller Primzahlen, dice kleiner oder gleich der nat�rlichen Zahl x ist.

Tabelle:

ten	2	three	4	5	vi	7	8	9	ten	11	12	xiii	14	fifteen
p (10)	1	ii	2	three	3	four	four	iv	4	v	v	vi	6	6

Beispiel: p (11) = 5, p (1000) = 168

Der Graph von p (x) ist eine Treppenfunktion:

Dice Frage, ob sich p (x) durch eine mathematische Funktion n�hern l�sst, besch�ftigt Mathematiker seit �ber 200 Jahren.

Definition:

Zwei Funktionen f(x) und k(ten) hei�en asymptotisch gleich, falls .

Schreibweise: .

N�herung durch Carl Friedrich Gau� (1792): (Graph rot)

Bessere N�herung durch C. F. Gau� (1849): (Graph gr�northward)

In der graphischen Darstellung wird f�r gro�e x der Unterschied zwischen den Graphen von Li(ten) (gr�due north) und p (x) (schwarz) immer geringer.

Absch�tzung durch Tschebyscheff (1850):

Primzahlsatz von Hadamard und de la Vall�eastward-Poussin (1896) :

Folgerungen: ,

Der Graph von p (x) geht f�r x gegen unendlich gegen unendlich, wird aber immer flacher.

Eine noch bessere N�herung lieferte Bernhard Riemann (1859) mit der Riemannschen R-Funktion

und der M�biusfunktion μ(due north):

μ(northward) = i f�r n = 1
μ(n) = 0, wenn in der Primfaktorzerlegung von n mindestens ein Primfaktor mehrfach vorkommt
μ(n) = (-1) ^k , wenn die Primfaktorzerlegung von n aus 1000 verschiedenen Primfaktoren besteht

Riemannsche Zetafunktion:

Andere Schreibweise mit Hilfe der Zetafunktion:

Vergleich der Genauigkeit von Li(ten) und R(x) im Vergleich zu p (x )

x	p (x)	Li(x) ^one)	Abweichung Li(ten) von p (ten) in %	R(x) ^ane)	Abweichung R(x) von p (10) in %
100	25	29	16	26	4
ane.000	168	177	5,4	168	0
x.000	1.229	1.245	1,thirty	1.227	-0,xvi
100.000	ix.592	ix.629	0,39	9.587	-0,052
ane.000.000	78.498	78.627	0,16	78.527	0,037
10.000.000	664.579	664.917	0,051	664.667	0,013
100.000.000	five.761.455	5.762.208	0,013	5.761.552	0,0017
1.000.000.000	50.847.534	50.849.234	0,0033	50.847.455	-0,00016
10.000.000.000	455.052.511	455.055.614	0,00068	455.050.683	-0,00040
100.000.000.000	four.118.054.813	iv.118.066.400	0,00028	4.118.052.495	-0,000056
1.000.000.000.000	37.607.912.018	37.607.950.280	0,00010	37.607.910.542	-0,000004

¹⁾ Auf Einer gerundet

Bemerkung:

Riemann hat die Zetafunktion auf komplexe Argumente z verallgemeinert.

Dabei ist er auf Eigenschaften der komplexen Funktion gesto�en, dice eine Korrektur des Fehlers bei der Northward�herung von o(x) erm�glicht.

Bei der Untersuchung der Nullstellen der komplexen Zetafunktion lid er vermutet, dass die Zetafunktion au�er den reellen Nullstellen nur auf der Geraden: Realteil(z) = 0,5 weitere unendlich viele Nullstellen besitzt.

Diese sogenannte Riemannsche Vermutung spielt in der Zahlentheorie eine gro�due east Rolle, konnte aber bisher noch nicht bewiesen werden. F�r den richtigen Beweis wurde 1 Million $ gestiftet.

Buchempfehlung:

Marcus du Sautoy: Dice Musik der Primzahlen Auf den Spuren des gr��x R�tsels der Mathematik

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Source: https://www.michael-holzapfel.de/themen/primzahlen/pz-anzahl.htm

Posted by: landispeons1982.blogspot.com